Одной из важнейших в мире наук является математика. Мы живем и дышим математическими формулами, каждого из нас можно разложить на крошечные составляющие, и кусочки эти поддаются счету. Еще в древности говорили, что «математика – величайшая из наук», но тогда ученые даже понятия не имели, насколько они правы. За века было сформулировано множество фраз, которые описывают эту науку. В данном разделе собраны крылатые выражения о математике.
Геометрия – это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах.
Бесконечность! Ничто не двигало так глубоко человеческий разум.
Математика для учёного – то же самое, что скальпель для анатома.
Ничто не нравится, кроме красоты, в красоте – ничто, кроме форм, в формах – ничто, кроме пропорций, в пропорциях – ничто, кроме числа.
Математика есть единая симфония бесконечного.
Число лежит в основе всякого восприятия красоты. Только в том случае, когда само ощущение удовольствия преисполнено определённых чисел, оно способно одобрять равные интервалы и отвергать беспорядочные.
Об одном из своих учеников: Он стал поэтом — для математика у него не хватало фантазии.
Цель математической строгости состоит в том, чтобы санкционировать и узаконить завоевания интуиции.
Математика является учением об отношениях между формулами, лишенными какого бы то ни было содержания.
Математика полезна тем, что она трудна.
Математика – всего лишь игра в которую играют согласно простым правилам и пользуются при этом ничего не значащими обозначениями.
Нигде, как в математике, ясность и точность вывода не позволяет человеку отвертеться от ответа разговорами вокруг вопроса.
В огромном саду геометрии каждый может подобрать себе букет по вкусу.
Математика учит точности мысли, подчинению логике доказательства, понятию строго обоснованной истины, а всё это формирует личность, пожалуй, больше, чем музыка.
Мы все убеждены в том, что любая математическая задача поддаётся решению. Это убеждение… является для нас большим подспорьем в работе, когда мы приступаем к решению математической проблемы, ибо мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует ignorabimus (мы не будем знать).
Окружающий нас мир – это мир геометрии.
На мой взгляд, истинная причина, в силу которой… не удалось найти неразрешимую математическую проблему, заключается в том, что неразрешимых проблем не существует.
В моральном плане математика учит нас строго относиться к тому, что утверждается как истина, что выдвигается как аргумент или высказывается как доказательство. Математика требует ясности понятий и утверждений, не терпит ни тумана, ни бездоказательных заявлений.
Где же ещё искать надёжность и истинность, если даже само математическое мышление даёт осечки?
Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли.
… Любые рамки, в особенности национального характера, противоречат духу математики. Только абсолютно не понимая нашей науки, можно создавать различия между людьми и расами, а причины, по которым это делалось, являются крайне ничтожными. Математика не знает рас… Для математики весь культурный мир представляет собой единую страну.
Своеобразие геометрии, выделяющее её среди других разделов математики, да и всех наук вообще, заключается в неразрывном органическом соединении живого воображения со строгой логикой. Геометрия в своей сути и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой.
Математика — это не только наука; в своих лучших проявлениях она ближе к высокому искусству, музыке, поэзии.
Общеобразовательное значение курса математики, как и любого другого предмета, состоит прежде всего в тех общих понятиях, которые он даёт и которые расширяют кругозор и способы подхода человека к явлениям жизни. С этой точки зрения математика важна, во-первых, своей логикой, последовательностью и точностью выводов. Во-вторых, математика полезна тем, что она трудна. Её абстрактные строгие рассуждения требуют больших и длительных умственных усилий, требуют не столько памяти, сколько понимания и соображения.
Современная математика – это язык будущего.
Значение математики сейчас непрерывно возрастает. В математике рождаются новые идеи и методы. Всё это расширяет сферу её приложения. Сейчас уже нельзя назвать такой области деятельности людей, где математика не играла бы существенной роли. Она стала незаменимым орудием во всех науках о природе, в технике, в обществоведении. Даже юристы и историки берут на своё вооружение математические методы.
Если бы геометрические аксиомы задевали интересы людей, они бы опровергались.
Инженер, не владеющий математическими методами, — это не инженер, а монтёр… Инженер в полном смысле этого слова немыслим без знания математики. Ничего нельзя сделать без математики: мост построить нельзя, плотину – нельзя, гидростанцию – нельзя. Сокращать объём преподавания математики – преступление! Надо изучать её как можно в большем объёме, а главное – как можно основательнее.
Геометрия чем-то напоминает вино.
…Всякой аксиоматической обработке математического материала должно предшествовать конкретное, я бы сказал, наивное овладение им.
Ключ к решению многих научных задач в их удачном изложении языком математики.
Мне любо изречение древнего и славнейшего живописца Памфила, у которого молодые люди благородного звания начали обучаться живописи. Он считал, что ни один живописец не может хорошо писать, не зная хорошо геометрии. Наши наметки, в которых изложено всё искусство живописи во всём безусловном совершенстве, будут легко поняты всяким геометром, но невежда в геометрии не поймёт ни этих, ни каких-либо иных правил живописи. Поэтому я и утверждаю, что живописцу необходимо обучаться геометрии.
Жизнь основана на математике, все величие искусства и музыки имеет в своей основе математику.
И сильно возлюбив искусство числительное, помыслил я, что без числа никакое рассуждение философское не слагается, всей мудрости матерью его почитая.
Всякое новое в открытии является математическим по форме, ибо нет никакой другой возможной для нас путеводной нити.
Математика выявляет порядок, симметрию и определённость, а это – важнейшие виды прекрасного.
У людей, усвоивших великие принципы математики, одним органом чувств больше, чем у простых смертных.
Мы с наслаждением познаём математику… Она восхищает нас, как цветок лотоса.
Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять.
И учение о природе, и математику следует считать лишь частями мудрости.
Я считал наиболее достоверными те истины, которые ясно воспринимал как относящиеся к фигурам, числам и другим материям, принадлежащим арифметике, геометрии и вообще чистой и абстрактной математике… Только математикам дано достичь несомненности и ясности, ибо они исходят из того, что наиболее легко и просто.
Пифагорейцы были первыми, кто, занявшись математическими науками, продвинул их вперёд; воспитавшись на них, пифагорейцы стали считать их началами всех вещей.
К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера…
…В математике …ни в одном доказательстве не ссылаются здесь на то, что так лучше или хуже, да и вообще ничего подобного никому здесь даже на ум не приходит. Вот почему некоторые софисты, например Аристипп, относились к математике пренебрежительно: в остальных искусствах, мол, даже в ремесленнических, например в плотничьем и сапожном, всегда ссылаются на то, что так лучше или хуже, математическое же искусство совершенно не принимает во внимание хорошее и дурное.
Бесконечность распознаваема, но не познаваема.
Хотя математик на свой лад и пользуется общими положениями, но начала математики должна исследовать первая философия.
Все грандиозные достижения математики и естественных наук… проистекают из нашего неутомимого желания придать миру в наших умах более рациональную форму, чем та, которую придал ему грубый порядок нашего опыта.
Вкусив от сладкого плода математики, мы уподобляемся лотофагам, ибо воспользовавшись ею хоть раз, мы не хотим от неё оторваться и она овладевает нами, как цветок лотоса.
Самый важный факт состоит в том, что все картины природы, рисуемые наукой, которые только могут находиться в согласии с данными наблюдений, – картины математические… За пределы математических формул мы выходим на свой страх и риск.
Вновь и вновь следует повторить изречение Пифагора: Нет сомнений, что природа во всём остаётся себе подобной. Дело обстоит так: существуют числа, благодаря которым гармония звуков пленяет слух, эти же числа преисполняют и глаза, и дух чудесным. Легче найти доказательство, приобретя сначала некоторое понятие о том, что мы ищем, чем искать такое доказательство без всякого предварительного знания.
Когда разговариваешь с математиком, можно не иметь представления о математике. Но при этом совершенно необходимо чувство юмора и сознание своего ничтожества…
Математик – это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями. Лучший математик – кто устанавливает аналогии доказательств. Более сильный может заметить аналогии теорий. Но есть и такие, кто между аналогиями видит аналогии.
Математика была для меня в детстве тем же, чем была религия. Потому что и религия, и математика утверждают, что могут объяснить весь мир.
Главная сила математики состоит в том, что вместе с решением одной конкретной задачи она создаёт общие приёмы и способы, применимые во многих ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть.
Начинать исследование можно по-разному. Всё равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть истины, как страны, наиболее удобный путь к которым становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь… На пути к истине мы почти всегда обречены совершать ошибки.
«Очевидный» – самое опасное слово в математике.
Математика — это орудие, специально приспособленное для того, чтобы иметь дело с отвлечёнными понятиями любого вида, и в этой области нет предела её могуществу. По этой причине книга о современной физике, если она не сводится к простому описанию экспериментальной работы, должна быть по существу математической.
Математика – королева и служанка наук.
Оказывается, одна из основных особенностей природы заключается в том, что законы фундаментальной физики описываются очень изящными и мощными математическими теориями. Для понимания этих теорий нужно быть математиком высокого уровня. Вы можете удивляться: почему Природа устроена таким образом? Единственное, что можно ответить на современном уровне знаний – Природа таким образом сконструирована. Остаётся только принять это. Другими словами, Бог – математик очень высокого уровня и Он использовал самую совершенную математику при создании Вселенной. Наши слабенькие математические усилия позволяют нам понять устройство лишь маленького кусочка Вселенной, и по мере дальнейшего развития математики мы надеемся понять устройство Вселенной лучше.
Как известно большинству математиков по собственному опыту, многое из того, что одно поколение математиков считает надёжным и удовлетворительным, имеет шанс обратиться в тончайшую паутину под пристальным взором следующего поколения.
…Нужно в первую очередь руководствоваться соображениями математической красоты, не придавая особого значения расхождениям с опытом. Расхождения вполне могут быть вызваны какими-то вторичными эффектами, которые прояснятся позже.
Принятое в XX веке определение математики как науки о бесконечном следовало бы заменить другим, более правильно отражающим ее сущность как науки о соотношениях конечного и бесконечного.
…Человека, умеющего наблюдать и анализировать, обмануть просто невозможно. Его выводы будут безошибочны, как теоремы Евклида.
Разве математики… не имеют своих тайн и, более того, своих неприятностей и противоречий?
Числа – это обязательное орудие современной цивилизации, которое используется для упорядочения сферы её деятельности.
Давно замечено, что геометрия – это чудесная логика. А таки действительно: когда определения ясны, когда постулаты неоспоримы, когда свойства фигур вытекают из четкого наблюдения с помощью четкой цепочки последовательных рассуждений, а объекты все время находятся в поле зрения, – то таким путем формируется привычка думать точно, последовательно и методично; эта привычка усиливает и оттачивает ум и становится нужной во время поисков истины в других областях.
Математика является меньше знанием, чем умением.
Строгость в математике означает, прежде всего, добросовестность и ясность.
Если теорему так и не смогли доказать, она становится аксиомой.
Я надеюсь, что в будущем всё больше физиков-теоретиков будут обретать глубокие познания математических принципов, а математики не станут ограничиваться чисто эстетическим развитием математических абстракций.
В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления.
По-видимому, новые математические открытия, совершаемые по подсказке физики, всегда будут наиболее важными, ибо природа проложила путь и установила каноны, которым должна следовать математика, являющаяся языком природы.
Можно было бы спросить, для чего нужны эти невозможные решения (комплексные корни). Я отвечу – по трём причинам: для незыблемости общих правил; чтобы не было других решений и по причине их полезности.
В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.
…Отношения математики и живописи особенно близки, ибо эти виды деятельности зачастую используют один и тот же объект исследования. Более того, так же как математика может быть использована для анализа живописи, последняя в свою очередь (рисование, черчение, в частности) очевидно полезна в математических исследованиях, причем далеко не только в геометрии. Математику и живопись в этой связи можно рассматривать просто как два различных, взаимодополняющих способа визуализации конкретной или абстрактной реальности, в которой мы существуем.
Математика – это больше чем наука, это язык науки.
Математический талант – сложная вещь. Разумеется, математические способности его необходимый ингредиент. Но этого мало. Математические способности встречаются чаще, чем обычно полагают. Однако, математика, как и наука вообще, трудна и чтобы добиться в ней чего-либо стоящего, нужно жить ею, нужна страстность.
Математика – заклятый враг зубрёжки.
В задачах по элементарной геометрии приходится пользоваться очень остроумными, подчас тонкими приёмами, и тот, кто в своей молодости вкусил их прелесть, никогда их не забудет.
Это общеизвестная истина, очевидная с первого взгляда, что математика – изобретение человека.
Математика – самый короткий путь к самостоятельному мышлению.
… Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение.
Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.
Математика существует не для того, чтобы навязывать кому-либо тяжелую работу. Наоборот, она существует только для удовольствия. Для удовольствия тех, кто любит анализировать то, что он делает, или может сделать, или то, что уже сделал в надежде сделать это еще лучше.
Оценка математической теории определяется не только её правильностью. Она зависит также от важности предмета и области применений. За пределами этого должно быть ещё место свободным суждениям человека.
Со времён греков говорить «математика» – значит говорить «доказательство».
С древнейших времён критические пересмотры оснований всей математики в целом или любого из её разделов почти неизменно сменялись периодами неуверенности, когда возникали противоречия, которые приходилось решать… Но вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение науки; это даёт им право смотреть в будущее спокойно.
Искусство – завуалированная алгебра, отнимающая жизнь у тех, кто стремится приподнять её покрывало.
Человек, не знающий математики, не способен ни к каким другим наукам. Более того, он даже не способен оценить уровень своего невежества, а потому не ищет от него лекарства.
В истории черпаем мы мудрость, в поэзии – остроумие, в математике – проницательность.
Математика – первая из всех наук и полезна, и необходима для них.
Математика — это дверь и ключ к наукам.
Практика рождается из тесного соединения физики и математики.
В природе существует много такого, что не может быть ни достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно доказано, ни достаточно умело и надёжно использовано на практике без помощи и вмешательства математики.
Математические дарования, подобно музыкальным, нередко врожденны, проявляются рано и органически определяют склад ума данного человека.
Математика помогает понять реальность и может ею вдохновляться, но для подтверждения или опровержения любого ее предложения реальность ей не нужна.
Физика кажется математикой в цвете, но математика больше, чем черно-белая физика.
Реальность говорит последнее слово, чтобы проверить или опровергнуть научную теорию, но что или кто заботится о таких вещах в математике?
Комплексные числа помогают из-за обратной стороны зеркала справиться с недостатками вещественных чисел.
Красота математики, как и красота любой вещи, – это внутреннее свойство, она происходит из гармонии между различными частями одного целого.
Геометрия – это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах.
Бесконечность! Ничто не двигало так глубоко человеческий разум.
Математика для учёного – то же самое, что скальпель для анатома.
Ничто не нравится, кроме красоты, в красоте – ничто, кроме форм, в формах – ничто, кроме пропорций, в пропорциях – ничто, кроме числа.
Математика есть единая симфония бесконечного.
Число лежит в основе всякого восприятия красоты. Только в том случае, когда само ощущение удовольствия преисполнено определённых чисел, оно способно одобрять равные интервалы и отвергать беспорядочные.
Об одном из своих учеников: Он стал поэтом — для математика у него не хватало фантазии.
Цель математической строгости состоит в том, чтобы санкционировать и узаконить завоевания интуиции.
Математика является учением об отношениях между формулами, лишенными какого бы то ни было содержания.
Математика полезна тем, что она трудна.
Математика – всего лишь игра в которую играют согласно простым правилам и пользуются при этом ничего не значащими обозначениями.
Нигде, как в математике, ясность и точность вывода не позволяет человеку отвертеться от ответа разговорами вокруг вопроса.
В огромном саду геометрии каждый может подобрать себе букет по вкусу.
Математика учит точности мысли, подчинению логике доказательства, понятию строго обоснованной истины, а всё это формирует личность, пожалуй, больше, чем музыка.
Мы все убеждены в том, что любая математическая задача поддаётся решению. Это убеждение… является для нас большим подспорьем в работе, когда мы приступаем к решению математической проблемы, ибо мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существует ignorabimus (мы не будем знать).
Окружающий нас мир – это мир геометрии.
На мой взгляд, истинная причина, в силу которой… не удалось найти неразрешимую математическую проблему, заключается в том, что неразрешимых проблем не существует.
В моральном плане математика учит нас строго относиться к тому, что утверждается как истина, что выдвигается как аргумент или высказывается как доказательство. Математика требует ясности понятий и утверждений, не терпит ни тумана, ни бездоказательных заявлений.
Где же ещё искать надёжность и истинность, если даже само математическое мышление даёт осечки?
Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли.
… Любые рамки, в особенности национального характера, противоречат духу математики. Только абсолютно не понимая нашей науки, можно создавать различия между людьми и расами, а причины, по которым это делалось, являются крайне ничтожными. Математика не знает рас… Для математики весь культурный мир представляет собой единую страну.
Своеобразие геометрии, выделяющее её среди других разделов математики, да и всех наук вообще, заключается в неразрывном органическом соединении живого воображения со строгой логикой. Геометрия в своей сути и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой.
Математика — это не только наука; в своих лучших проявлениях она ближе к высокому искусству, музыке, поэзии.
Общеобразовательное значение курса математики, как и любого другого предмета, состоит прежде всего в тех общих понятиях, которые он даёт и которые расширяют кругозор и способы подхода человека к явлениям жизни. С этой точки зрения математика важна, во-первых, своей логикой, последовательностью и точностью выводов. Во-вторых, математика полезна тем, что она трудна. Её абстрактные строгие рассуждения требуют больших и длительных умственных усилий, требуют не столько памяти, сколько понимания и соображения.
Современная математика – это язык будущего.
Значение математики сейчас непрерывно возрастает. В математике рождаются новые идеи и методы. Всё это расширяет сферу её приложения. Сейчас уже нельзя назвать такой области деятельности людей, где математика не играла бы существенной роли. Она стала незаменимым орудием во всех науках о природе, в технике, в обществоведении. Даже юристы и историки берут на своё вооружение математические методы.
Если бы геометрические аксиомы задевали интересы людей, они бы опровергались.
Инженер, не владеющий математическими методами, — это не инженер, а монтёр… Инженер в полном смысле этого слова немыслим без знания математики. Ничего нельзя сделать без математики: мост построить нельзя, плотину – нельзя, гидростанцию – нельзя. Сокращать объём преподавания математики – преступление! Надо изучать её как можно в большем объёме, а главное – как можно основательнее.
Геометрия чем-то напоминает вино.
…Всякой аксиоматической обработке математического материала должно предшествовать конкретное, я бы сказал, наивное овладение им.
Ключ к решению многих научных задач в их удачном изложении языком математики.
Мне любо изречение древнего и славнейшего живописца Памфила, у которого молодые люди благородного звания начали обучаться живописи. Он считал, что ни один живописец не может хорошо писать, не зная хорошо геометрии. Наши наметки, в которых изложено всё искусство живописи во всём безусловном совершенстве, будут легко поняты всяким геометром, но невежда в геометрии не поймёт ни этих, ни каких-либо иных правил живописи. Поэтому я и утверждаю, что живописцу необходимо обучаться геометрии.
Жизнь основана на математике, все величие искусства и музыки имеет в своей основе математику.
И сильно возлюбив искусство числительное, помыслил я, что без числа никакое рассуждение философское не слагается, всей мудрости матерью его почитая.
Всякое новое в открытии является математическим по форме, ибо нет никакой другой возможной для нас путеводной нити.
Математика выявляет порядок, симметрию и определённость, а это – важнейшие виды прекрасного.
У людей, усвоивших великие принципы математики, одним органом чувств больше, чем у простых смертных.
Мы с наслаждением познаём математику… Она восхищает нас, как цветок лотоса.
Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять.
И учение о природе, и математику следует считать лишь частями мудрости.
Я считал наиболее достоверными те истины, которые ясно воспринимал как относящиеся к фигурам, числам и другим материям, принадлежащим арифметике, геометрии и вообще чистой и абстрактной математике… Только математикам дано достичь несомненности и ясности, ибо они исходят из того, что наиболее легко и просто.
Пифагорейцы были первыми, кто, занявшись математическими науками, продвинул их вперёд; воспитавшись на них, пифагорейцы стали считать их началами всех вещей.
К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера…
…В математике …ни в одном доказательстве не ссылаются здесь на то, что так лучше или хуже, да и вообще ничего подобного никому здесь даже на ум не приходит. Вот почему некоторые софисты, например Аристипп, относились к математике пренебрежительно: в остальных искусствах, мол, даже в ремесленнических, например в плотничьем и сапожном, всегда ссылаются на то, что так лучше или хуже, математическое же искусство совершенно не принимает во внимание хорошее и дурное.
Бесконечность распознаваема, но не познаваема.
Хотя математик на свой лад и пользуется общими положениями, но начала математики должна исследовать первая философия.
Все грандиозные достижения математики и естественных наук… проистекают из нашего неутомимого желания придать миру в наших умах более рациональную форму, чем та, которую придал ему грубый порядок нашего опыта.
Вкусив от сладкого плода математики, мы уподобляемся лотофагам, ибо воспользовавшись ею хоть раз, мы не хотим от неё оторваться и она овладевает нами, как цветок лотоса.
Самый важный факт состоит в том, что все картины природы, рисуемые наукой, которые только могут находиться в согласии с данными наблюдений, – картины математические… За пределы математических формул мы выходим на свой страх и риск.
Вновь и вновь следует повторить изречение Пифагора: Нет сомнений, что природа во всём остаётся себе подобной. Дело обстоит так: существуют числа, благодаря которым гармония звуков пленяет слух, эти же числа преисполняют и глаза, и дух чудесным. Легче найти доказательство, приобретя сначала некоторое понятие о том, что мы ищем, чем искать такое доказательство без всякого предварительного знания.
Когда разговариваешь с математиком, можно не иметь представления о математике. Но при этом совершенно необходимо чувство юмора и сознание своего ничтожества…
Математик – это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями. Лучший математик – кто устанавливает аналогии доказательств. Более сильный может заметить аналогии теорий. Но есть и такие, кто между аналогиями видит аналогии.
Математика была для меня в детстве тем же, чем была религия. Потому что и религия, и математика утверждают, что могут объяснить весь мир.
Главная сила математики состоит в том, что вместе с решением одной конкретной задачи она создаёт общие приёмы и способы, применимые во многих ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть.
Начинать исследование можно по-разному. Всё равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть истины, как страны, наиболее удобный путь к которым становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь… На пути к истине мы почти всегда обречены совершать ошибки.
«Очевидный» – самое опасное слово в математике.
Математика — это орудие, специально приспособленное для того, чтобы иметь дело с отвлечёнными понятиями любого вида, и в этой области нет предела её могуществу. По этой причине книга о современной физике, если она не сводится к простому описанию экспериментальной работы, должна быть по существу математической.
Математика – королева и служанка наук.
Оказывается, одна из основных особенностей природы заключается в том, что законы фундаментальной физики описываются очень изящными и мощными математическими теориями. Для понимания этих теорий нужно быть математиком высокого уровня. Вы можете удивляться: почему Природа устроена таким образом? Единственное, что можно ответить на современном уровне знаний – Природа таким образом сконструирована. Остаётся только принять это. Другими словами, Бог – математик очень высокого уровня и Он использовал самую совершенную математику при создании Вселенной. Наши слабенькие математические усилия позволяют нам понять устройство лишь маленького кусочка Вселенной, и по мере дальнейшего развития математики мы надеемся понять устройство Вселенной лучше.
Как известно большинству математиков по собственному опыту, многое из того, что одно поколение математиков считает надёжным и удовлетворительным, имеет шанс обратиться в тончайшую паутину под пристальным взором следующего поколения.
…Нужно в первую очередь руководствоваться соображениями математической красоты, не придавая особого значения расхождениям с опытом. Расхождения вполне могут быть вызваны какими-то вторичными эффектами, которые прояснятся позже.
Принятое в XX веке определение математики как науки о бесконечном следовало бы заменить другим, более правильно отражающим ее сущность как науки о соотношениях конечного и бесконечного.
…Человека, умеющего наблюдать и анализировать, обмануть просто невозможно. Его выводы будут безошибочны, как теоремы Евклида.
Разве математики… не имеют своих тайн и, более того, своих неприятностей и противоречий?
Числа – это обязательное орудие современной цивилизации, которое используется для упорядочения сферы её деятельности.
Давно замечено, что геометрия – это чудесная логика. А таки действительно: когда определения ясны, когда постулаты неоспоримы, когда свойства фигур вытекают из четкого наблюдения с помощью четкой цепочки последовательных рассуждений, а объекты все время находятся в поле зрения, – то таким путем формируется привычка думать точно, последовательно и методично; эта привычка усиливает и оттачивает ум и становится нужной во время поисков истины в других областях.
Математика является меньше знанием, чем умением.
Строгость в математике означает, прежде всего, добросовестность и ясность.
Если теорему так и не смогли доказать, она становится аксиомой.
Я надеюсь, что в будущем всё больше физиков-теоретиков будут обретать глубокие познания математических принципов, а математики не станут ограничиваться чисто эстетическим развитием математических абстракций.
В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления.
По-видимому, новые математические открытия, совершаемые по подсказке физики, всегда будут наиболее важными, ибо природа проложила путь и установила каноны, которым должна следовать математика, являющаяся языком природы.
Можно было бы спросить, для чего нужны эти невозможные решения (комплексные корни). Я отвечу – по трём причинам: для незыблемости общих правил; чтобы не было других решений и по причине их полезности.
В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии.
…Отношения математики и живописи особенно близки, ибо эти виды деятельности зачастую используют один и тот же объект исследования. Более того, так же как математика может быть использована для анализа живописи, последняя в свою очередь (рисование, черчение, в частности) очевидно полезна в математических исследованиях, причем далеко не только в геометрии. Математику и живопись в этой связи можно рассматривать просто как два различных, взаимодополняющих способа визуализации конкретной или абстрактной реальности, в которой мы существуем.
Математика – это больше чем наука, это язык науки.
Математический талант – сложная вещь. Разумеется, математические способности его необходимый ингредиент. Но этого мало. Математические способности встречаются чаще, чем обычно полагают. Однако, математика, как и наука вообще, трудна и чтобы добиться в ней чего-либо стоящего, нужно жить ею, нужна страстность.
Математика – заклятый враг зубрёжки.
В задачах по элементарной геометрии приходится пользоваться очень остроумными, подчас тонкими приёмами, и тот, кто в своей молодости вкусил их прелесть, никогда их не забудет.
Это общеизвестная истина, очевидная с первого взгляда, что математика – изобретение человека.
Математика – самый короткий путь к самостоятельному мышлению.
… Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение.
Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе.
Математика существует не для того, чтобы навязывать кому-либо тяжелую работу. Наоборот, она существует только для удовольствия. Для удовольствия тех, кто любит анализировать то, что он делает, или может сделать, или то, что уже сделал в надежде сделать это еще лучше.
Оценка математической теории определяется не только её правильностью. Она зависит также от важности предмета и области применений. За пределами этого должно быть ещё место свободным суждениям человека.
Со времён греков говорить «математика» – значит говорить «доказательство».
С древнейших времён критические пересмотры оснований всей математики в целом или любого из её разделов почти неизменно сменялись периодами неуверенности, когда возникали противоречия, которые приходилось решать… Но вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение науки; это даёт им право смотреть в будущее спокойно.
Искусство – завуалированная алгебра, отнимающая жизнь у тех, кто стремится приподнять её покрывало.
Человек, не знающий математики, не способен ни к каким другим наукам. Более того, он даже не способен оценить уровень своего невежества, а потому не ищет от него лекарства.
В истории черпаем мы мудрость, в поэзии – остроумие, в математике – проницательность.
Математика – первая из всех наук и полезна, и необходима для них.
Математика — это дверь и ключ к наукам.
Практика рождается из тесного соединения физики и математики.
В природе существует много такого, что не может быть ни достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно доказано, ни достаточно умело и надёжно использовано на практике без помощи и вмешательства математики.
Математические дарования, подобно музыкальным, нередко врожденны, проявляются рано и органически определяют склад ума данного человека.
Математика помогает понять реальность и может ею вдохновляться, но для подтверждения или опровержения любого ее предложения реальность ей не нужна.
Физика кажется математикой в цвете, но математика больше, чем черно-белая физика.
Реальность говорит последнее слово, чтобы проверить или опровергнуть научную теорию, но что или кто заботится о таких вещах в математике?
Комплексные числа помогают из-за обратной стороны зеркала справиться с недостатками вещественных чисел.
Красота математики, как и красота любой вещи, – это внутреннее свойство, она происходит из гармонии между различными частями одного целого.
